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Aproximação Paramétrica das Previsões

As previsões do Mosqlimate podem fornecer quantis correspondentes à mediana e aos intervalos de predição de 50%, 80%, 90% e 95%. Para obter uma distribuição preditiva completa a partir desses quantis, ajustamos uma distribuição log-normal utilizando estimação por correspondência de quantis (quantile-matching estimation).

Seja

$$\boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_L)$$

o vetor dos níveis de probabilidade acumulada associados aos quantis disponíveis, e seja

$$\boldsymbol{q} = (q_1, \ldots, q_L)$$

o vetor dos valores previstos correspondentes. Nosso objetivo é estimar os parâmetros $(\mu, \sigma)$ de uma distribuição log-normal cujos quantis teóricos melhor correspondam aos quantis previstos.

Assuma que

$$X \sim \text{LogNormal}(\mu, \sigma^2).$$

Então,

$$\log(X) \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2).$$

Para um determinado nível de probabilidade $(\alpha_i)$, o quantil teórico correspondente satisfaz

$$q_i = \exp\left(\mu + \sigma z_i\right),$$

onde

$$z_i = \Phi^{-1}(\alpha_i)$$

e $\Phi^{-1}$ denota a função distribuição acumulada inversa (função quantil) da distribuição normal padrão.

Aplicando logaritmo em ambos os lados, obtemos

$$\log(q_i) = \mu + \sigma z_i.$$

Portanto, estimar uma distribuição log-normal a partir de um conjunto de quantis previstos pode ser formulado como um simples problema de regressão linear:

$$\log(q_i) = \mu + \sigma z_i + \varepsilon_i,$$

onde:

• $\log(q_i)$ é a variável resposta;
• $z_i = \Phi^{-1}(\alpha_i)$ é a variável preditora;
• o intercepto estima $(\mu)$;
• a inclinação estima $(\sigma)$.

Os parâmetros podem então ser estimados utilizando mínimos quadrados ordinários. Seja

$$y_i = \log(q_i),$$

e definam-se, sendo $L$ o número de quantis,

$$\bar y = \frac{1}{L}\sum_{i=1}^{L} y_i, \qquad \bar z = \frac{1}{L}\sum_{i=1}^{L} z_i,$$

onde $L$ representa o número de quantis disponíveis. As estimativas de mínimos quadrados são

$$\hat{\sigma} = \frac{\sum_{i=1}^{L}(z_i-\bar z)(y_i-\bar y)} {\sum_{i=1}^{L}(z_i-\bar z)^2},$$

e

$$\hat{\mu} = \bar y - \hat{\sigma}\,\bar z.$$

Substituindo $y_i = \log(q_i)$, obtemos

$$\hat{\sigma} = \frac{\sum_{i=1}^{L}(z_i-\bar z)\left[\log(q_i)-\overline{\log(q)}\right]} {\sum_{i=1}^{L}(z_i-\bar z)^2},$$

e

$$\hat{\mu} = \overline{\log(q)} - \hat{\sigma}\,\bar z.$$

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Antes do IMDC 2025

Antes do IMDC 2025, as previsões forneciam apenas três quantidades: a previsão mediana (pred) e os limites inferior e superior do intervalo de predição de 90%. A distribuição log-normal era então reconstruída utilizando o procedimento descrito abaixo.

Um método de otimização numérica é aplicado para determinar a média ($\mu^\star$) e a variância ($v^\star$) de uma distribuição log-normal com base nas previsões registradas na plataforma, com o objetivo de calcular métricas de avaliação (scoring metrics). O método utiliza a mediana $m$ e os limites inferior $l$ e superior $u$ do intervalo de predição de 90%.

Para os casos em que $m > 0$, o problema de otimização é formulado como:

$$(\mu^\star, \sigma^\star) = \operatorname{argmin}_{\mu \in \mathbb{R}, \sigma \in \mathbb{R}_+} \frac{|u - \hat{u}(\mu, \sigma)|}{u} + \frac{|m - \hat{m}(\mu, \sigma)|}{m},$$

onde $\hat{m}(\mu, \sigma)$ e $\hat{u}(\mu, \sigma)$ são, respectivamente, a mediana e o limite superior do intervalo de predição de 90% de uma distribuição log-normal com parâmetros $\mu$ e $\sigma$. Além disso, $m$ é a mediana prevista registrada na plataforma e $u$ é o limite superior do intervalo de predição de 90% da previsão submetida.

Para o caso específico em que $m = 0$, o problema de otimização é definido como:

$$(\mu^\star, \sigma^\star) = \operatorname{argmin}_{\mu \in \mathbb{R}, \sigma \in \mathbb{R}_+} \frac{|u - \hat{u}(\mu, \sigma)|}{u}.$$